13 - Dźwięki

Na zajęciach tych omówione zastaną podstawowe pojęcia związane z dźwiękami.

Dźwięk jako fala akustyczna.

Dźwięk jest oscylacją ciśnienia powietrza wokół określonej wartości.
Aplet wizualizujący zjawiska związane z falami:

http://www.falstad.com/ripple/

Możemy przyjąć, że czerwone obszary charakteryzują się wysokim ciśnieniem powietrza, a zielone obszary - niskim ciśnieniem. Przyjmijmy, że mamy do czynienia z małym źródłem kulistym. Źródło to drga (naprzemiennie kurczy się i rozszerza wokół swojego stanu równowagi) z określoną częstotliwością. Kurcząc się wytwarza wokół siebie obszar podciśnienia przemieszczający się w kierunku od źródła, a rozszerzając się - obszar nadciśnienia.

Podstawowym i najprostszym rodzajem drgań są drgania opisane funkcją matematyczną sinus. Wykres funkcji sinus wygląda następująco:

sinus200.png

W przypadku drgań w powietrzu współrzędna x tego wykresu reprezentuje dziedzinę czasu, a współrzędna y - zmianę ciśnienia w powietrzu (w określonym punkcie przestrzeni) w stosunku do jej "normalnej" wartości.

Wyjątkowość funkcji sinus w naszych rozważaniach wynika głównie z faktu, że zgodnie ze wzorem Eulera-Fouriera każdy dźwięk periodyczny (okresowy [prostymi słowy: taki, który co jakiś czas powtarza się]) można przybliżyć sumą szeregu tonów prostych, a więc sinusów. Ale o tym jeszcze za chwilę.

Na początek zajmiemy się opisem tonów prostych, a więc takich, których wykres ma kształt funkcji sinus.

Tony Proste

Częstotliwość dźwięku

Częstotliwość drgania oznacza, ile razy w ciągu sekundy wystąpił pełen okres drgań. Pełen okres drgań polega na przejściu badanego obiektu ze stanu równowagi do wychylenia (np. wytworzyło się nadciśnienie), do stanu wychylenia "w drugą stronę" (wytworzyło się podciśnienie) i z powrotem do stanu równowagi.

zadanie 1
1/ Przy pomocy darmowego programu Audacity wygenerować ton o częstotliwości 25 Hz.
2/ Dostrzec na wykresie funkcję sinus
3/ Policzyć, ile razy w ciągu sekundy wystąpił pełen okres drgań.

zadanie 2
1/ Wygenerować kilka tonów o różnych częstotliwościach i odsłuchiwać je na słuchawkach
2/ W jakich granicach mieści się zakres słyszalności? Jakie wyniki otrzymaliśmy?

Okres

Okres drgań to czas jaki upłynąć, aby układ wykonał pełne drganie.
Jak powiedzieliśmy układ drgający z częstotliwością x Hz wykonuje x pełnych drgań w ciągu sekundy. Z tego wynika, że jedno pełne drganie trwać będzie 1/x sekundy. Stąd wzór łączący częstotliwość drgań (oznaczaną f) z okresem drgań (oznaczanym przez T):

(1)
\begin{align} f = \frac{1}{T} \end{align}

gdzie f to częstotliwość drgań wyrażona w Hz, a T to okres drgań wyrażony w sekundach.

zadanie 3
1/ Dla podanej przez prowadzącego częstotliwości policzyć okres drgań.
2/ Wygenerować ton o danej częstotliwości w programie Audacity
3/ Porównać okres wygenerowanego tonu z otrzymanym wynikiem. (Użyć narzędzia Zaznaczanie, wynik będzie zapisany na dole ekranu).

Amplituda

Amplituda to maksymalne wychylenie drgającego układu od stanu równowagi (na otrzymanych przebiegach czasowych jest to odległość na osi y od punktu oznaczonego 0 do punktu, który jest największym osiąganym przez układ wychyleniem - a więc do szczytów - górnych lub dolnych - sinusa).

W przypadku dźwięku, amplituda drgań oznacza maksymalną zmianę ciśnienia w danym punkcie.

Jaki ma związek amplituda drgań widoczna w programie z amplitudą drgań dźwięku? Jeśli chcemy odtworzyć wygenerowany przebieg czasowy, program wysyła dane opisujące wygenerowany dźwięk do sterownika karty dźwiękowej, a ten wysyłaja informacje do karty dźwiękowej. Na wyjściu układu karty pojawia się napięcie, a więc jeśli przyłączymy do wyjścia słuchawki, przez kable popłynie prąd, który przepłynie przez cewkę, w której powodować będzie zmiany pola magnetycznego, które będzie oddziaływać z magnesem umieszczonym w słuchawce (tzn. magnes będzie ją odpychać albo przyciągać w zależności od kierunku prądu). Do cewki przyczepiona jest membrana głośnika, ktora będzie drgać analogicznie do przebiegu czasowego prądu. Ruchy membrany powodować będą zagęszczanie i rozrzedzanie ośrodka (powietrza) przed membraną. No. I tak powstaje dźwięk. :)

Rozważania te mają na celu uzmysłowić, że mając amplitudę wywnioskowaną z przebiegu czasowego w programie (np. równą 1), niewiele można powiedzieć o amplitudzie drgań powietrza. Wynika to głównie z naszej niewiedzy o parametrach słuchawek, np. jaki musi być prąd, by wygeneroać drgania powietrza o określonej amplitudzie albo - w przypadku głośników - na ile rozkręcona jest gałka wzmacniacza.

Prawo Webera-Fechnera

zadanie 4
1/ Wygeneruj tony o częstotliwościach 200 i 400 Hz.
2/ Dany jest ton o częstotliwości 900 Hz. Wygeneruj go i znajdź częstotliwość, jaką musiałby mieć ton X, aby subiektywna (!) różnica pomiędzy tonem X a tonem o częstotliwości 900 Hz brzmiała tak samo, jak pomiędzy tonem o częstotliwości 400 a 200 Hz.
3/ Zrob to samo dla tonu 500 Hz.
4/ Jakie zależności zauważasz?

Prawo Webera-Fechnera wyraża zależność między fizyczną miarą bodźca, a wrażeniem/odczuciem tego bodźca przez układ biologiczny.
Można to wyrazić wzorem:

(2)
\begin{align} L = a \cdot log I + b \end{align}

(gdzie a i b to stałe, a log to logarytm dziesiętny - dziesiątkę w indeksie dolnym można pominąć albo nie)

lub powiedzieć słowami: "miara odczucia bodźca przez układ biologiczny jest proporcjonalna do logarytmu miary fizycznej bodźca".

Hm.. czym jest logarytm?
Logarytm dziesiętny z a wynosi tyle, ile wynosi potęga, do której należy podnieść liczbę dziesięć tak, aby otrzymać w wyniku a.
Krócej:

(3)
\begin{align} log_{10}a = x \iff 10^{x} = a \end{align}

zadanie 5
Obliczyć:

(4)
\begin{equation} log_{10}{10} \end{equation}
(5)
\begin{equation} log_{10}{10000} \end{equation}
(6)
\begin{equation} log_{10}{100} \end{equation}
(7)
\begin{equation} log_{10}{1} \end{equation}
(8)
\begin{equation} log_{10}{0.1} \end{equation}
(9)
\begin{equation} log_{10}{2} \end{equation}

Prawo Webera-Fechnera można też wykorzystać do opisywania różnicy pomiędzy dźwiękami o różnych częstotliwościach. W tym wypadku częstotliwości obu dźwięków f1 i f2 to fizyczne miary bodźców, a przez L1 i L2 oznaczmy miary odczucia bodźca przez układ biologiczny.
Różnica odczuć bodźca przez układ biologiczny wyniesie wówczas:

(10)
\begin{align} \Delta L = L_1 - L_2 = ( a \cdot log_{10}{f1} +b ) - ( a \cdot log_{10}{f2} +b ) = a \cdot log_{10}{f1} + b - a \cdot log_{10}{f2} - b = a \cdot ( log_{10}{f1} - log_{10}{f2} ) = \\ a \cdot (log_{10}{\frac{f1}{f2}} ) \end{align}

Można więc zauważyć, że aby otrzymać te samo wrażenie różnicy dla par bodźców, trzeba, by dla każdej pary stosunek częstotliwości był równy.

Przykładowo - stosunek częstotliwości dla pary bodźców 500 Hz i 250 Hz jest taki sam jak dla pary bodźców 2000 Hz i 1000 Hz. Widać więc, że dla wrażenia różnica ważny jest stosunek wartości, a nie ich różnica. (Np. mogłoby się wydawać, że 500Hz-250Hz to taka sama subiektywna różnica jak 2000 Hz i 1750 Hz, a tak nie jest).

Stosunek częstotliwości równy 2 oznacza, że dwa tony są od siebie odległe o interwał zwany oktawą.
Stosunek częstotliwości równy 3/2 oznacza, że dwa tony są od siebie odległe o interwał zwany kwintą.
Stosunek częstotliwości 4/3 oznacza, że dwa tony są od siebie odległe o interwał zwany kwartą.

zadanie 6
Wygeneruj dwie pary tonów takie, aby interwał pomiędzy dźwiękami tworzącymi każdą parę był kwintą albo kwartą.

Dźwięki złożone

Mówiliśmy wyżej, że zgodnie ze wzorem Eulera-Fouriera każdy dźwięk periodyczny (okresowy [prostymi słowy: taki, który co jakiś czas powtarza się]) można przybliżyć sumą szeregu tonów prostych, a więc sinusów.
Dźwięk złożony to właśnie suma szeregu tonów prostych o różnych amplitudach i o częstotliwościach będących wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.

Przykład: mamy ton prosty o częstotliwości 100 Hz (częstotliwość podstawowa dźwięku złożonego) i chcemy wygenerować dźwięk złożony z 5 tonów, w którym ton 100Hz będzie miał najniższą częstotliwość - tzn. 100 Hz będzie częstotliwością podstawową tego dźwięku złożonego. Wtedy tony proste, z których składać się będzie dźwięk złożony będą miały następujące częstotliwości:
100Hz
200Hz
300Hz
400Hz
500Hz

Poszczególne składowe dźwięki harmonicznego nazywamy alikwotami lub harmonicznymi. W zależności od tego, jaki jest rozkład amplitud pośród poszczególnych składowych, uzyskuje się różne brzmienie dźwięku złożonego.

zadanie7
1/ Wygenerować dźwięk złożony o częstotliwości podstawowej 300 Hz (różne tony proste na różnych ścieżkach - nadać ścieżkom nazwy oznaczające częstotliwość tonu).
2/ Przy pomocy suwaków czułość po lewej stronie każdej ścieżki (obok jest znak - oraz +) regulować proporcje poszczególnych składowych w sygnale wyjściowym
3/ Dla każdej regulacji odsłuchiwać dźwięk i oceniać jego brzmienie
4/ Sprawdzać jak brzmi dźwięk o różnej ilości harmonicznych (najlepiej wygenerować wiele harmonicznych i wyciszać je przyciskiem cisza)
5/ Zmiksować ścieżki do pliku (opcja Eksportuj jako WAV/MP3), otworzyć eksportowany plik w Audacity, zmierzyć okres zmiksowanego dźwięku, obliczyć częstotliwość
6/ sprawdzić jak wpływaja na brzmienie ilość harmonicznych i ich amplitudy.
7/ wyciągnąć wnioski.
8/ odróżnić wysokość dźwięku od jego barwy. Wysokość nie zmienia się, gdy dodajemy harmoniczne, barwa - tak. Wysokość dźwięku złożonego jest taka jak wysokość częśtotliwości podstawowej.
9/wypisać częstotliwości harmonicznych, ich amplitudy.

uwaga do zadania 7
Podczas odtwarzania z wielu ścieżek należy bardzo uważać na przesterowanie sygnału wyjściowego. Wartości sygnałów w Audacity mogą być jedynie z zakresu <-1, 1>. Jeżeli miksujemy (miksowanie odbywa się również podczas odtwarzania kilku ścieżek w programie) wartości sygnału w każdej chwili dodają się, w wyniku czego może wyjść wartość większa niż 1 (albo mniejsza niż -1). Wartościom większym niż jeden przypisywane są wartości równe 1, wartościom mniejszym niż jeden przypisywane są wartości równe -1. W wyniku tego zjawiska, zwanego przesterowaniem, może się stać tak, że w wyniku dodania kilku sinusów otrzymamy kształt podobny do kwadratu.

Praat:
http://www.fon.hum.uva.nl/praat/download_win.html
(potrzebujemy pliku z rozszerzeniem win.zip)

Zadanie dla chętnych

  1. Wygenerować dźwięk złożony o innej częstotliwości podstawowej niż w zadaniu 7,
  2. Wykonać dla tego dźwięku polecenia z zadania 7 bacząc jednocześnie na uwagę do zadania 7,
  3. Napisać raport zawierający parę słów opisu wykonanego zadania (dokonywane regulacje amplitud i składu harmonicznych, zmiany brzmienia uzyskane w ich wyniku, wnioski z odsłuchu dźwięków, można zamieścić w nim screeny z pomiarem okresu, wykresem fali dźwięku złożonego itp.),
  4. Wysłać raport i pliki WAV lub MP3 do prowadzących;
  • Pliki WAV albo MP3 o różnych brzmieniach uzyskanych w wyniku regulacji (ilości i amplitud) harmonicznych można także umieścić na serwerze (swojej strony html) i przesłać linki wraz z raportem;

deadline: 31.01, 23.59
ilosc punktow: 4

Strona na licencji Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0. Autorzy: A. Czoska, M. Komosiński, B. Kowalczyk, A. Kupś, M. Lubawy